Question

8．觀察下列等式：
$\sqrt{{1}^{3}}$=1，$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}}$=3，$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}}$=6，$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+{4}^{3}}$=10
$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+{4}^{3}+{5}^{3}}$=15
…
（Ⅰ）猜想第n（n∈N⁺）個(gè)等式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）歸納猜想即可，
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）第n（n∈N⁺）個(gè)等式$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{n}^{2}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅱ）證明①當(dāng)n=1時(shí)，等式顯然成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{k}^{2}}$=$\frac{k（k+1）}{2}$，
即1²+2²+3²+…+k²=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+（k+1）^{2}}$
=${\sqrt{\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}+（k+1）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{\frac{（k+1）^{2}（{k}^{2}+4k+4）}{4}}$=$\sqrt{\frac{（k+1）^{2}（k+2）^{2}}{4}}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2}$，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，
由①②等式對(duì)任意n∈N*都成立．

點(diǎn)評(píng) 考查了數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用、不等式的性質(zhì)，考查了觀察分析猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．