Question

20．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點是F₁、F₂，且|F₁F₂|=2，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過橢圓右焦點F₂的直線l交橢圓于A，B兩點，求|AF₂|•|F₂B|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|F₁F₂|=2，離心率為$\frac{1}{2}$，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，求|AF₂|•|F₂B|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為橢圓的標準方程為$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ 2c=2\end{array}\right.$，
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ 2c=2\end{array}\right.$解得$a=2，b=\sqrt{3}$．
所以橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．　　　　…（5分）
（Ⅱ）因為F₂（1，0），當直線$A（1，\frac{3}{2}）$的斜率不存在時，$A（1，\frac{3}{2}）$，$B（1\;，\;-\frac{3}{2}）$，
則$|A{F_2}|•|{F_2}B|=\frac{9}{4}$，不符合題意．
當直線y=k（x-1）的斜率存在時，直線y=k（x-1）的方程可設為y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（*）．
設${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，則${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$、${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$是方程（*）的兩個根，
所以${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
所以$|A{F_2}|=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+{y_1}^2}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-1}|$，
所以$|{F_2}B|=\sqrt{{{（{x_2}-1）}^2}+{y_2}^2}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}-1}|$
所以$|A{F_2}|•|{F_2}B|=（1+{k^2}）|{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}|$=$（1+{k^2}）|{\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}|$=$（1+{k^2}）|{\frac{9}{{3+4{k^2}}}}|$
$\begin{array}{l}=（1+{k^2}）\frac{9}{{3+4{k^2}}}\\=\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）.\end{array}$
當k²=0時，|AF₂|•|F₂B|取最大值為3，
所以|AF₂|•|F₂B|的取值范圍$（{\frac{9}{4}，3}]$．
又當k不存在，即AB⊥x軸時，|AF₂|•|F₂B|取值為$\frac{9}{4}$．
所以|AF₂|•|F₂B|的取值范圍$[{\frac{9}{4}，3}]$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．