Question

15．對于無窮數列{T_n}，若正整數n₀，使得n≥n₀（n∈N^*）時，有T_n+1＞T_n，則稱{T_n}為“n₀～不減數列”．
（1）設s，t為正整數，且s＞t，甲：{x_n}為“s～不減數列”，乙：{x_n}為“t～不減數列”．
試判斷命題：“甲是乙的充分條件”的真假，并說明理由；
（2）已知函數y=f（x）與函數y=-$\frac{1}{x}$+2的圖象關于直線y=x對稱，數列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），如果{a_n}為“n₀～不減數列”，試求n₀的最小值；
（3）設y_n=$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{4}{3}），（n=1）}\\{（\frac{1}{{2}^{n}}+1）cosnπ，（n≥2，n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，且x_n-λy_n=2ⁿ，是否存在實數λ使得{x_n}為“$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））～不減數列”？若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于甲：{x_n}為“s～不減數列”?x_s＜x_s+1＜x_s+2＜…，對于乙：{x_n}為“t～不減數列”?x_t＜x_t+1＜x_t+2＜…，從而判斷出“甲是乙的充分條件”是假命題．
（2）由反函數知y=f（x）=$\frac{1}{2-x}$，從而可得a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，從而可判斷出a₂＜a₁，且a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜…，從而求得．
（3）假設存在實數λ使得{x_n}為“$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））～不減數列”，解$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））=1，從而可得{x_n}是單調遞增數列，故當n≥3時，x_n-x_n-1=2^n-1+（-1）ⁿλ（$\frac{3}{{2}^{n}}$+2）＞0，即（-1）ⁿλ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$，從而討論以確定λ的取值范圍．

解答 解：（1）對于甲：{x_n}為“s～不減數列”?x_s＜x_s+1＜x_s+2＜…，
對于乙：{x_n}為“t～不減數列”?x_t＜x_t+1＜x_t+2＜…，
∵s，t為正整數，且s＞t，
∴乙⇒甲，顯然甲推不出乙，
故甲是乙的必要條件，從而“甲是乙的充分條件”是假命題．
（2）∵函數y=f（x）與函數y=-$\frac{1}{x}$+2的圖象關于直線y=x對稱，
∴函數y=f（x）與函數y=-$\frac{1}{x}$+2互為反函數，
故y=f（x）=$\frac{1}{2-x}$，
由a_n+1=f（a_n）得a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
由a₁=3得a₂=-1＜1，
假設a_k=＜1（k≥2），
則a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$＜1，
即n≥2時，a_n＜1；
于是a_n+1-a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$-a_n=$\frac{（{a}_{n}-1）^{2}}{2-{a}_{n}}$＞0（n≥2），
故a₂＜a₁，且a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜…，
故n₀的最小值為2．
（3）假設存在實數λ使得{x_n}為“$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））～不減數列”，
∵$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））=1，∴{x_n}是單調遞增數列，
∵cosnπ=（-1）ⁿ，且f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{3}{2}$，
∴y_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$，
又∵x_n=2ⁿ+λy_n，
故當n≥3時，x_n-x_n-1=2^n-1+（-1）ⁿλ（$\frac{3}{{2}^{n}}$+2）＞0，（-1）ⁿλ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$，
若n為大于或等于4的偶數，則有λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，
故λ＞（-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$）_max=-$\frac{{2}^{4-1}}{\frac{3}{{2}^{4}}+2}$=-$\frac{128}{35}$，故λ＞-$\frac{128}{35}$，
若n為大于或等于3的奇數，則有λ＜$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，故λ＜（$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$）_min=$\frac{{2}^{3-1}}{\frac{3}{{2}^{3}}+2}$=$\frac{32}{19}$，故λ＜$\frac{32}{19}$，
又當n=2時，x₂-x₁=（4+$\frac{5}{4}$λ）-（2+$\frac{3}{2}$λ）＞0，故λ＜8；
綜上可知，λ的取值范圍為（-$\frac{128}{35}$，$\frac{32}{19}$）．

點評 本題考查了分類討論的思想應用及學生學習能力，同時考查了數學歸納法的應用．