Question

18．已知點P是邊長為4的正三角形ABC的邊BC上的中點，則$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=24．

Answer 1

分析 由中點的向量表示形式可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），再由向量數(shù)量積的定義和性質，化簡整理即可得到所求值．

解答 解：由P為邊長為4的正三角形ABC的邊BC上的中點，
可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cosA=4×4×$\frac{1}{2}$=8，
則$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$×（16+16+16）=24．
故答案為：24．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質，考查向量的中點的表示形式，以及運算能力，屬于基礎題．