Question

13．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形中第n個數(shù)的表達式：
三角形數(shù)N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
正方形數(shù)N（n，4）=n²，
五邊形數(shù)N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
六邊形數(shù)N（n，6）=2n²-n，
據(jù)此可推測N（n，k）的表達式，由此計算N（8，22）=（　　）

• A． 284
• B． 568
• C． 1136
• D． 2272

Answer 1

分析 觀察已知式子的規(guī)律，并改寫形式，從式子本身特點以及所在序號，找出規(guī)律，歸納可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-k}{2}n$，把n=8，k=22代入可得答案．

解答 解：原已知式子可化為：
三角形數(shù)N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}$n²+$\frac{4-3}{2}$n
正方形數(shù)N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}$n²+$\frac{4-4}{2}n$；
五邊形數(shù)N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n=$\frac{5-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-5}{2}n$，
六邊形數(shù)N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-6}{2}n$，
…
由歸納推理可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-k}{2}n$，
故N（8，22）=$\frac{22-2}{2}×{8}^{2}+\frac{4-22}{2}×8$=568；
故選B．

點評 本題考查了歸納推理；歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．