Question

3．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，2）上不具有單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時，求出f′（x）的解析式，令f′（x）=0，求得x的值，再利用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由題意可得，f′（x）=0在（1，2）上有實數(shù)根，且在此根的兩側(cè)附近，f′（x）異號．由f′（x）=0求得根的值，可得a的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$•x²-（1+a）x 的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-（1+2）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$
令f′（x）=0，求得x=1，或 x=2．
在（0，1）、（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，2）上不具有單調(diào)性，則f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-1-a=0在（1，2）上有實數(shù)根，且在此根的兩側(cè)附近，f′（x）異號．
由f′（x）=0求得x=1或x=a，
∴1＜a＜2，
故a的取值范圍為（1，2）．

點評 本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．