Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+k•x²+3x-2k，g（x）=（3-k²）•x
（1）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，討論函數(shù)f（x）是否存在極值；
（2）若存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考慮判別式大于0恒成立，討論f′（1）＞0，f′（1）≤0，考慮極值情況；
（2）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，即為f（x）＞g（x）在x＞1有解，即-x³+k•x²+3x-2k-（3-k²）•x＞0即h（x）=x³-kx²-k²x+2k＜0（x＞1）有解，討論k=0，若k≠0，則有h（1）≤0，解不等式，加以檢驗(yàn)即可得到范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=-x³+k•x²+3x-2k的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=-3x²+2kx+3，
由于判別式△=4k²+36＞0，則f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且符號(hào)相反．
設(shè)正根為x₁，負(fù)根為x₂，
f′（0）=3＞0，若f′（1）＞0，即-3+2k+3＞0解得，k＞0，
則f（x）在（1，x₁）遞增，（x₁，+∞）遞減，
則f（x）存在極大值；
若f′（1）≤0，即-3+2k+3≤0解得，k≤0，則f（x）在（1，+∞）遞減，不存在極值；
綜上，當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）存在極大值；當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）不存在極值；
（2）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，即為
f（x）＞g（x）在x＞1有解，即-x³+k•x²+3x-2k-（3-k²）•x＞0
即h（x）=x³-kx²-k²x+2k＜0（x＞1）有解，
若k=0，顯然不成立；
若k≠0，則有h（1）≤0，即有1-k-k²+2k≤0，
解得，k≥

1+ 5

2

或k≤

1- 5

2

，
檢驗(yàn)，k=

1+ 5

2

時(shí)，x＞1時(shí)，h（x）＜0；k=

1- 5

2

時(shí)，x＞1時(shí)，h（x）＞0恒成立．
則k的范圍是：k≥

1+ 5

2

或k＜

1- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．