Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．給定函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，從而得到f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)．

解答： 解：由f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，得f′（x）=x²-x+3，
∴f′′=2x-1，
由2x-1=0得x=

1

2

，
∴f(

1

2

)=1，
∴f（x）的對稱中心為(

1

2

，1)，
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2013

2014

)=f(

2

2014

)+f(

2012

2014

)=…=2f(

1007

2014

)=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)=2013
故答案為：2013．

點(diǎn)評：本題是新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，是中檔題．