Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（x）•f（1-2x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，先求出f（0），再利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，
（2）由函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解得即可．

解答： 解：∵設(shè)x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
對(duì)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1，
由已知可，得當(dāng)x₁＞0時(shí)，f（x₁）＞1＞0
當(dāng)x₁=0時(shí)，f（x₁）=1＞0
當(dāng)x₁＜0時(shí)，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1
∴0＜f（x₁）＜1
故對(duì)于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）f（x）•f（1-2x）=f（x+1-2x）=f（1-x），
∵f（x）•f（1-2x）＞1=f（0），
∴f（1-x）＞f（0）
∴1-x＞0
解得x＜1，
故原不等式的解集為（-∞，1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法