Question

設(shè)變量x，y滿足|x|+|y|≤1，求：
（1）z=x+2y的最大值；
（2）z=x²+y²-4x+4y的最小值；
（3）z=

2y+1

x-5

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化約束條件為不等式組，進(jìn)而作出其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，變形目標(biāo)函數(shù)經(jīng)平移直線得最優(yōu)解，代值得答案．
（2）z表示正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)（x，y）到（2，-2）的距離的平方減去8．求得正方形位于第四象限的邊所在的直線方程為x-y-1=0，以及點(diǎn)（2，-2）到此直線的距離d的值，可得z=x²+y²-4x+4y的最小值．
（3）z=2•

y+ 1 2

x-5

，表示正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)M（5，-

1

2

）連線的斜率的2倍．顯然點(diǎn)N（0，-1）與點(diǎn)M（5，-

1

2

）連線的斜率最大，求得此最大值，再乘以2，即為所求．

解答： 解：（1）約束條件|x|+|y|≤1可化為：

x+y≤1，x≥0，y≥0 x-y，x≥0，y＜0 -x+y，x＜0，y≥0 -x-y，x＜0，y＜0

，
其表示的平面區(qū)域如圖所示的正方形及內(nèi)部：
設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y，變形可得y=-

1

2

x+

z

2

，
經(jīng)平移直線可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，z=x+2y取最大值2．
（2）z=x²+y²-4x+4y=（x-2）²+（y+2）²-8，表示正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)（x，y）到（2，-2）的距離的平方減去8．
正方形位于第四象限的邊所在的直線方程為x-y-1=0，求得點(diǎn)（2，-2）到此直線的距離為d=

|2+2-1|

2

=

3

2

，
可得z=x²+y²-4x+4y的最小值為

9

2

-8=-

7

2

．
（3）z=

2y+1

x-5

=2

y+ 1 2

x-5

，表示正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)M（5，-

1

2

）連線的斜率的2倍．
顯然點(diǎn)N（0，-1）與點(diǎn)M（5，-

1

2

）連線的斜率最大為

- 1 2 +1

5-0

=

1

10

，
故z=

2y+1

x-5

的最大值為2×

1

10

=

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，兩點(diǎn)間的距離公式、直線的斜率公式的應(yīng)用，畫(huà)出滿足條件的可行域，確定最優(yōu)解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．