Question

6．某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為$\frac{1}{2}$．現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6是一等品，4件是二等品．
（Ⅰ）隨機選取3件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測為事件A，求事件A的概率；
（Ⅱ）隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用獨立事件的概率，轉(zhuǎn)化求解即可．
（Ⅱ）求出一等品的件數(shù)記為X的可能值，求出概率，得到分布列然后求解期望即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） $P（A）=1-\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}•{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{239}{240}$
所以隨機選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為$\frac{239}{240}$．…（5分）
（Ⅱ）由題可知X可能取值為0，1，2，3．…（6分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^0C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$．…（10分）
則隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

…（11分）
$EX=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$…（13分）

點評 本題考查獨立事件概率的求法，離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．