Question

已知直線方程為（2+λ）x+（1-2λ）y+4-3λ=0．
（1）求證不論λ取何實數(shù)值，此直線必過定點；
（2）過這定點引一直線，使它夾在兩坐標軸間的線段被這點平分，求這條直線方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）將直線的方程：（2+λ）x+（1-2λ）y+4-3λ=0是過某兩直線交點的直線系，故其一定通過某個定點，將其整理成直線系的標準形式，求兩定直線的交點此點即為直線恒過的定點．
（2）當斜率不存在時，不合題意；當斜率存在時，設(shè)所求的直線方程為y+2=k（x+1），列出方程，進而得出交點．

解答： 證明：（1）直線方程為（2+λ）x+（1-2λ）y+4-3λ=0可化為：
∵λ（x-2y-3）+2x+y+4=0，
∴由

x-2y-3=0 2x+y+4=0

得：

x=-1 y=-2

，
∴直線l恒過定點M（-1，-2）．
解：（2）當斜率不存在時，不合題意；
當斜率存在時，設(shè)所求直線l₁的方程為y+2=k（x+1），
直線l₁與x軸、y軸交于A、B兩點，則A（

2

k

-1，0）B（0，k-2）．
∵AB的中點為M，
∴

2 k -1=-2 k-2=-4

，
解得k=-2．
∴所求直線l₁的方程為y+2=-2（x+1），
即：2x+y+4=0．
所求直線l₁的方程為2x+y+4=0

點評：本題給出動直線恒過定點，要我們求直線恒過的定點坐標，中點的坐標，著重考查了直線的方程及點與直線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．