Question

P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且

DP

=λ

DB

，若

CP

•

DB

≥

PD

•

PB

，則λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC所在直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，求出D，C，B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），則

DP

=（x，y），

DB

=（1，-1），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由條件列出不等式，注意0≤λ≤1，解出即可得到范圍．

解答： 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC所在直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，0），C（1，0），B（1，-1），
設(shè)P（x，y），則

DP

=（x，y），

DB

=（1，-1），
且

DP

=λ

DB

，則

DP

=（λ，-λ），

CP

=（λ-1，-λ），

PB

=（1-λ，-1+λ），
若

CP

•

DB

≥

PD

•

PB

，
則（λ-1，-λ）•（1，-1）≥（-λ，λ）•（1-λ，-1+λ），
即有λ-1+λ≥2λ（λ-1），即2λ²-4λ+1≤0，
解得，1-

2

2

≤λ≤1+

2

2

，
且0≤λ≤1，
即有1-

2

2

≤λ≤1，
故答案為：[1-

2

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查坐標(biāo)法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．