Question

下列給出的四個命題中：
①在△ABC中，∠A＜∠B的充要條件是sinA＜sinB；
②在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=

x

2

的圖象只有一個公共點；
③函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；
④在實數(shù)數(shù)列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，則a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
其中為真命題的是

 

．（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：①在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA＜sinB?a＜b?A＜B，即可得出．
②在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=

x

2

的圖象多于1個公共點，其中一個是（0，0），另外令f（x）=sinx-

x

2

，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間(

π

2

，π)內還有一個公共點；
③不正確，例如：取f（x）=x²，則f（x+1）=（x+1）²，f（1-x）=（x-1）²；
④在實數(shù)數(shù)列{a_n}中，由a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，可得a₂=±1，分類討論，可得a₃，a₄．

解答： 解：①在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴∠A＜∠B的充要條件是sinA＜sinB；
②在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=

x

2

的圖象多于1個公共點，其中一個是（0，0），另外令f（x）=sinx-

x

2

，則f(

π

2

)=1-

π

4

＞0，f（π）=-

π

2

，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間(

π

2

，π)內還有一個公共點，因此不正確；
③函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱，不正確，例如：取f（x）=x²，則f（x+1）=（x+1）²，f（1-x）=（x-1）²；
④在實數(shù)數(shù)列{a_n}中，∵a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，則a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
∴a₂=±1，
當a₂=1時，a₃=0，a₄=±1，此時a₁+a₂+a₃+a₄=2或0．
當a₂=-1時，a₃=±1，當a₃=1時，a₄=0；當a₃=-1時，a₄=2．此時a₁+a₂+a₃+a₄=0．
綜上可得：a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．因此正確．
綜上可得：真命題為①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了正弦定理、三角形的邊角大小關系、函數(shù)的交點、對稱性、含有絕對值的數(shù)列，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．