已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
2
2
，且橢圓過(guò)點(diǎn)（1，1），過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M滿(mǎn)足MA=MB．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
的值；
（3）是否存在定圓，使得直線l繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AM恒與該定圓相切，若存在，求出圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
2
2
，且橢圓過(guò)點(diǎn)（1，1），求出幾何量，即可得出橢圓的方程；
（2）根據(jù)條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，同時(shí)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
若A，B在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)上．容易得出時(shí)
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
=
1
b2
+
1
b2
+
2
a2
=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，不妨設(shè)A（x1，kx1），M（x2，-
1
k
x2），代入橢圓方程可得x12=
3
1+2k2
，同樣得出結(jié)論．
（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，如果圓存在，則圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)（2）當(dāng)A，B，M不在橢圓的頂點(diǎn)上時(shí)，不妨設(shè)設(shè)A（x1，kx1），M（x2，-
1
k
x2），則直線AM的方程為y-kx1=
kx1+
1
k
x2
x1-x2
（x-x1），利用點(diǎn)到直線的距離公式證明原點(diǎn)到直線l的距離為定值即可．
解答： 解：（1）∵
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
2
2
，且橢圓過(guò)點(diǎn)（1，1），
∴
a2-b2
a
=
2
2
1
a2
+
1
b2
=1
，解得a2=3，b2=
3
2
．
故橢圓方程為
x2
3
+
2y2
3
=1．
（2）根據(jù)條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，同時(shí)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
若A，B在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)上．
這時(shí)
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
=
1
b2
+
1
b2
+
2
a2
=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，
不妨設(shè)A（x1，kx1），M（x2，-
1
k
x2），
代入橢圓方程得
x12
3
+
2
3
(kx1)2=1，∴x12=
3
1+2k2
，
∴OA2=OB2=
3(1+k2)
1+2k2
．
同時(shí)可得|OM|2=
3(1+k2)
k2+2
，
∴
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
=
2(1+2k2)
3(1+k2)
+
2(k2+2)
3(1+k2)
=2
綜上可知：不論A，B位置如何，總有
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
═2．
（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，如果圓存在，則圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，
根據(jù)（2）當(dāng)A，B，M不在橢圓的頂點(diǎn)上時(shí)，不妨設(shè)A（x1，kx1），M（x2，-
1
k
x2），
則直線AM的方程為y-kx1=
kx1+
1
k
x2
x1-x2
（x-x1），
原點(diǎn)O到直線AM的距離為d=
|(k+
1
k
)x1x2|
(kx1+
1
k
x2)2+(x1-x2)2
，
由（2）可得x12=
3
1+2k2
，x22=
3k2
k2+2
，代入上式化簡(jiǎn)可得d=1．
又A，B，M落在橢圓的頂點(diǎn)上時(shí)，可得原點(diǎn)到AM的距離d=
OA•OM
AM
=
ab
a2+b2
=1，
綜上，不論直線l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，原點(diǎn)到直線AM的距離始終為1，
∴存在定圓x2+y2=1，使得直線l繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AM恒與該圓相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出其交點(diǎn)坐標(biāo)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|x≤-1或x＞1}，則A∩（∁RB）=（　�。�
A、{x|0＜x＜1}
B、{x|1≤x＜2}
C、{x|0＜x≤1}
D、{x|1＜x＜2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
），離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)．直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，試問(wèn)以線段PQ為直徑的圓是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=
5π
12
處取得最大值．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=7且sinB+sinC=
13
3
14
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連結(jié)DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某停車(chē)場(chǎng)臨時(shí)停車(chē)按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車(chē)一次停車(chē)不超過(guò)1小時(shí)收費(fèi)6元，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元（不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算）．現(xiàn)有甲、乙兩人在該場(chǎng)地停車(chē)，兩人停車(chē)都不超過(guò)4小時(shí)．
（1）若甲停車(chē)1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為
1
3
，停車(chē)付費(fèi)多于14元的概率為
5
12
，求甲停車(chē)付費(fèi)6元的概率；
（2）若甲、乙兩人每人停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲乙二人停車(chē)付費(fèi)之和為28元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1、F2分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，線段F1P的中點(diǎn)在y軸上，
PF1
•
PF2
=
1
16
a2．傾斜角等于
π
3
的直線l經(jīng)過(guò)F1，與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）設(shè)△F1PF2的周長(zhǎng)為2+
3
，求△ABF2的面積S的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定兩個(gè)平面向量
OA
和
OB
，它們的夾角為120°．點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上，且
OC
=x
OA
+y
OB
，其中x，y∈R，則滿(mǎn)足x+y≥
2
的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若x，y滿(mǎn)足
2x-y≥0
y≥x
4x+4y≥9
，則z=2x+y的最小值為
 
．

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