Question

15．長方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面的面積分別為$\sqrt{3}，\sqrt{5}，\sqrt{15}$，則它的外接球的表面積為（　�。�

• A． 6π
• B． 7π
• C． 8π
• D． 9π

Answer 1

分析 由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的對(duì)角線，求出長方體的對(duì)角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．

解答 解：因?yàn)橐粋�(gè)長方體相鄰的三個(gè)面的面積分別是$\sqrt{3}，\sqrt{5}，\sqrt{15}$，
設(shè)長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是a，b，c
則$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{3}}\\{ac=\sqrt{5}}\\{bc=\sqrt{15}}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{5}$
∴長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是1、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，
∴長方體的對(duì)角線就是確定直徑，
長方體的體對(duì)角線的長是：$\sqrt{1+3+5}$=3
球的半徑是：R=$\frac{3}{2}$
這個(gè)球的表面積：S=4π（$\frac{3}{2}$）²=9π
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體的有關(guān)知識(shí)，球的表面積的求法，注意球的直徑與長方體的對(duì)角線的轉(zhuǎn)化是本題的解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，空間想象能力．