Question

7．已知點P（x，y）在橢圓C：2x²+y²=4上，則2x+y的取值范圍是$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$，橢圓C上的點到M（1，0）的距離的最大值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 化橢圓方程為標準方程，由動點P（x，y）在橢圓2x²+y²=4上，可設(shè)x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]．代入2x+y后化積得答案；利用兩點間的距離公式表示出距離|PM|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及余弦函數(shù)的值域，即可確定出距離|PM|的最值．

解答 解：由2x²+y²=4，得$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵動點P（x，y）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上，
∴可設(shè)x=$\sqrt{2}$cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π]．
∴2x+y=2$\sqrt{2}$cosθ+2sinθ=2$\sqrt{3}$sin（θ+φ）（tanφ=$\sqrt{2}$）．
∴2x+y∈$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$；
$|PM{|}^{2}=（\sqrt{2}cosθ-1）^{2}+（2sinθ）^{2}$=$2co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ-2\sqrt{2}cosθ+1$
=$3+2（1-co{s}^{2}α）-2\sqrt{2}cosθ$=$-2co{s}^{2}θ-2\sqrt{2}cosθ+5$．
當cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，（|PM|²）_max=6，
∴橢圓C上的點到M（1，0）的距離的最大值為$\sqrt{6}$．
故答案為：$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]，\sqrt{6}$．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性，屬于中檔題．