Question

5．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件便知二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，從而可設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，根據(jù)f（0）=3便可得出a=2，這樣便可得出f（x）的解析式；
（2）由f（x）的對(duì)稱軸為x=1便可得出a滿足$\left\{\begin{array}{l}{2a＜a+1}\\{2a≥1，或a+1≤1}\end{array}\right.$，解該不等式組便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（0）=f（2）知，f（x）的對(duì)稱軸為x=1，f（x）的最小值為1；
∴設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，得a=2；
∴f（x）=2（x-1）²+1；
（2）要使函數(shù)f（x）在[2a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)，則：
$\left\{\begin{array}{l}{2a＜a+1}\\{2a≥1，或a+1≤1}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a≥\frac{1}{2}，或a≤0}\end{array}\right.$；
即a≤0，或$\frac{1}{2}≤a＜1$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-∞，0]∪[\frac{1}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的最小值，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，清楚區(qū)間的定義．