Question

3．如圖，四棱豬ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A₁A=AB=2，E為棱AA₁的中點．
（1）證明：B₁C₁⊥CE；
（2）求二面角B₁-CE-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，AD，AB，AA₁兩兩互相垂直，以a為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點的坐標(biāo)后，求出$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$和$\overrightarrow{CE}$，由$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=0得到B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B₁CE和平面CEC₁的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B₁-CE-C₁的余弦值．

解答 證明：（1）∵四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD
AD=CD=1，A₁A=AB=2，E為棱AA₁的中點．
∴以點A為原點，AD，AA₁，AB分別為x，y，zlm，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），E（0，1，0）．
則$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=（1，0，-1）•（-1，1，-1）=0．
∴B₁C₁⊥CE．
解：（2）解：$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（1，-2，-1），
設(shè)平面B₁CE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=x-2y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x+y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=-3，y=-2．∴$\overrightarrow{m}$=（-3，-2，1）．
由（Ⅰ）知B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面CEC₁，
故$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1）為平面CEC₁的一個法向量，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{14}×\sqrt{2}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角B₁-CE-C₁的平面角為銳角，
∴二面角B₁-CE-C₁的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角和二面角的求法，運用了空間向量法，運用此法的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，再就是理解并掌握利用向量求線面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中檔題．