Question

13．己知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²-ax，a∈R．
（Ⅰ） 討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ） 若f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且不等式f′（x）≤xlnx恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題即xlnx+x²-（a+1）x+a≥0，令g（x）=xlnx+x²-（a+1）x+a，則g（1）=0，要使g（x）≥0對任意正數(shù)x恒成立，只需g（x）在x=1處取得最小值，得到關(guān)于a的方程，解出a，并檢驗即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-（x-1）（x-a），
令f′（x）=0，解得：x=1或a，
a=1時，f′（x）≤0恒成立，f（x）在R遞減，
a＞1時，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a或x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
a＜1時，令f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜a，
∴f（x）在（-∞，a）遞減，在（a，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）f′（x）≤xlnx即xlnx+x²-（a+1）x+a≥0，
令g（x）=xlnx+x²-（a+1）x+a，則g（1）=0，
要使g（x）≥0對任意正數(shù)x恒成立，
只需g（x）在x=1處取得最小值，
∵g′（x）=lnx+2x-a，g′（1）=2-a，令2-a=0，解得：a=2，
a=2時，g（x）=xlnx+x²-3x+2，g′（x）=lnx+2x-2，
∵g′（x）在（0，+∞）遞增，且g′（1）=0，
∴g′（x）有唯一零點，且是x=1，
∴g（x）在x=1處取得最小值，且最小值是g（1）=0，即g（x）≥0，
綜上，不等式f′（x）≤xlnx恒成立時，a=2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．