Question

18．己知等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃=6，a₄=4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n}}，n=2k，n∈{N}^{*}}\\{2{a}_{n}，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₃=6，a₄=4．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（II）由（I）可知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k}\\{2n，n=2k-1}\end{array}\right.$，①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即n=2k，k∈N^*，可得T_n=[2+6+…+2（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k），利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即n=2k-1，k∈N^*，n+1為偶數(shù)，T_n=T_n+1-a_n+1，即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵S₃=6，a₄=4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=6}\\{{a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1+（n-1）=n；
（II）由（I）可知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k}\\{2n，n=2k-1}\end{array}\right.$，
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即n=2k，k∈N^*，∴T_n=[2+6+…+2（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）
=2k²+$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{{2}^{n+2}}{3}$-$\frac{4}{3}$．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即n=2k-1，k∈N^*，n+1為偶數(shù)，
∴T_n=T_n+1-a_n+1=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+3}-4}{3}$-2ⁿ⁺¹=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$+$\frac{{2}^{n+1}}{3}$-$\frac{4}{3}$．
綜上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}-4}{3}，n=2k}\\{\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}-4}{3}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．