【題目】本小題滿分12分已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點

1求橢圓C的方程;

2是否存在過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由

【答案】1;2

【解析】

試題分析:1設(shè)橢圓的方程,若焦點明確,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值,若不明確,需分焦點在軸和軸上兩種情況討論;2解決直線和橢圓的綜合問題時注意:第一步:根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點,而斜率未知;有的題設(shè)條件已知斜率,點不定,可由點斜式設(shè)直線方程第二步:聯(lián)立方程:把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個元,得到一個一元二次方程第三步:求解判別式:計算一元二次方程根第四步:寫出根與系數(shù)的關(guān)系第五步:根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論

試題解析:1設(shè)橢圓C的方程為 2分

由題意得 4分

解得a2=4,b2=3故橢圓C的方程為 6分

2假設(shè)存在直線l1且由題意得斜率存在,設(shè)滿足條件的方程為y=k1x-2+1,

代入橢圓C的方程得,3+4x2-8k12k1-1x+16-16k1-8=0 7分

因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A,B,

設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為x1,y1,x2,y2,

所以Δ=[-8k12k1-1]2-43+4·16-16k1-8=326k1+3>0,所以k1>8分

又x1+x2,x1x2, 9分

因為,

x1-2)(x2-2y1-1)(y2-1,所以x1-2)(x2-2)(1+2

即[x1x2-2x1+x2+4]1+

所以, 10分

解得k1=±因為k1>-,所以k1于是存在直線l1滿足條件,其方程為y=x12分

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