Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1+a_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1+a_n=4n+3（n∈N^*），可得當(dāng)n=1時(shí)，解得a₂=5．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+2-a_n=4，因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4；偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為5，公差為4．分別利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）對(duì)n分類討論，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1+a_n=4n+3（n∈N^*），∴當(dāng)n=1時(shí)，a₂+a₁=7，解得a₂=5．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+2+a_n+1=4n+7，∴a_n+2-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4；偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為5，公差為4．
∴a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2，即n為奇數(shù)時(shí)：a_n=2n．
a_2k=5+4（k-1）=4k+1，即n為偶數(shù)時(shí)：a_n=2n+1．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2n，n為奇數(shù)}\\{2n+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（II）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=[2+6+…+2（n-1）]+[5+9+…+（2n+1）]=$\frac{\frac{n}{2}（2+2n-2）}{2}$+$\frac{\frac{n}{2}（5+2n+1）}{2}$=${n}^{2}+\frac{3}{2}n$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n+1-a_n+1=$（n+1）^{2}+\frac{3}{2}（n+1）-[2（n+1）+1]$=$\frac{2{n}^{2}+3n-1}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2{n}^{2}+3n-1），n為奇數(shù)時(shí)}\\{{n}^{2}+\frac{3}{2}n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．