Question

2．如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，且邊長是$2\sqrt{2}$，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）棱SC上是否存在點(diǎn)M使三棱錐M-AOC的體積是1？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OA，由題意可得SO⊥BC，AO⊥BC，可得BO=AO=CO=SO=2，在△SOA中，AO²+SO²=SA²，由勾股定理可得SO⊥OA，又AO∩BC=O，從而可證SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）設(shè)M是滿足條件的一點(diǎn)，向OC引垂線，交OC于點(diǎn)N，則MN⊥平面COA，由（Ⅰ）可求S_△AOC，由1=$\frac{1}{3}$×S_△AOC×MN，解得MN的值，從而得解．

解答 （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連接OA，∵側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，且邊長是$2\sqrt{2}$，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
∴可得SO⊥BC，AO⊥BC，可得BO=AO=CO=SO=2，
∴由△SOA中，AO²+SO²=SA²，可得SO⊥OA，
又∵AO∩BC=O，
∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：在棱SC上是否存在點(diǎn)M（MC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）使三棱錐M-AOC的體積是1，證明如下：
設(shè)M是滿足條件的一點(diǎn)，向OC引垂線，交OC于點(diǎn)N，則MN⊥平面COA，即MN是三棱錐M-AOC的一高．
因?yàn)橛桑á瘢┛芍�：S_△AOC=$\frac{1}{2}$×OC×OA=2，
所以要使三棱錐M-AOC的體積是1，則有：1=$\frac{1}{3}$×S_△AOC×MN，從而解得：MN=$\frac{3}{2}$．
所以可求得：CM=$\sqrt{2×M{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故棱SC上是否存在點(diǎn)M（當(dāng)CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)）使三棱錐M-AOC的體積是1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的求法，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識(shí)的考查．