Question

4．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）S_n
（1）求證：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}為等比數(shù)列
（2）求{a_n}通項公式及前n次和S_n
（3）若{b_n}滿足：b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{_{n}+{S}_{n}}{n}$，求b_n．

Answer 1

分析 （1）通過將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n，即可推出數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和s_n；
（3）數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{_{n}+{S}_{n}}{n}$，推出$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}+$2^n-1，利用累加法直接求b_n．

解答 （1）證明：將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n，
整理得$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}=2\frac{{S}_{n}}{n}$（n∈N^•）．
又由已知$\frac{{S}_{1}}{1}$=1≠0，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）的結(jié)論可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2，
由已知a₁=1，又當(dāng)n=1時，（n+1）•2^n-2=1，
∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）；
（3）解：由$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{_{n}+{S}_{n}}{n}$，（n∈N^*），
得$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}+$2^n-1，
由此式可得$\frac{_{n}}{n}=\frac{_{n-1}}{n-1}+{2}^{n-2}$，
$\frac{_{n-1}}{n-1}=\frac{_{n-2}}{n-2}+{2}^{n-3}$，
…
$\frac{_{2}}{2}=\frac{_{1}}{1}+{2}^{0}$，
累加得，$\frac{_{n}}{n}=_{1}+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-2}$=${2}^{n-1}-\frac{1}{2}$，（n∈N^*，n≥2）．
∴b_n=$n•{2}^{n-1}-\frac{1}{2}n$（n∈N^*，n≥2）．
驗證n=1時成立，
∴b_n=$n•{2}^{n-1}-\frac{1}{2}n$（n∈N^*）．

點評 本題考查等比關(guān)系的確定，考查了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列通項公式，考查計算能力，是中檔題．