Question

13．已知f_n（x）=C_n⁰xⁿ-C_n¹（x-1）ⁿ+…+（-1）^kC_n^k（x-k）ⁿ+…+（-1）ⁿC_nⁿ（x-n）ⁿ，其中x∈R，n∈N^*，k∈N，k≤n．
（1）試求f₁（x），f₂（x），f₃（x）的值；
（2）試猜測f_n（x）關(guān)于n的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用組合數(shù)公式直接計(jì)算；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算猜想公式，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡，將條件向假設(shè)式配湊得出．

解答 解：（1）f₁（x）=${C}_{1}^{0}$x-${C}_{1}^{1}$（x-1）=x-x+1=1，
f₂（x）=${C}_{2}^{0}{x}^{2}$-${C}_{2}^{1}（x-1）^{2}$+${C}_{2}^{2}（x-2）^{2}$=x²-2（x²-2x+1）+（x²-4x+4）=2，
f₃（x）=${C}_{3}^{0}$x³-${C}_{3}^{1}$（x-1）³+${C}_{3}^{2}$（x-2）²-${C}_{3}^{3}$（x-3）³=x³-3（x-1）³+3（x-2）³-（x-3）³=6，
（2）猜想：f_n（x）=n!．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；
②假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即f_k（x）=C_k⁰x^k-C_k¹（x-1）^k+${C}_{k}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^kC_k^k（x-k）^k=k!，
則n=k+1時(shí)，f_k（x）=C${\;}_{k+1}^{0}$x^k+1-${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k+1+C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+1+…+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=xC${\;}_{k+1}^{0}$x^k-（x-1）${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k+（x-2）C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^k（x-k）${C}_{k+1}^{k}$（x-k）^k+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=x[C${\;}_{k+1}^{0}$x^k-${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k+C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^k（x-k）${C}_{k+1}^{k}$（x-k）^k]
+[${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k-2C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^kk${C}_{k+1}^{k}$（x-k）^k]+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=x[C${\;}_{k}^{0}$x^k-（${C}_{k}^{0}$+${C}_{k}^{1}$）（x-1）^k+（${C}_{k}^{1}{+C}_{k}^{2}$）（x-2）^k+…+（-1）^k（${C}_{k}^{k-1}$+${C}_{k}^{k}$）（x-k）^k]
+（k+1）[${C}_{k}^{0}$（x-1）^k-${C}_{k}^{1}$（x-2）^k…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k-1}$（x-k）^k]+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=x[${C}_{k}^{0}$x^k-C_k¹（x-1）^k+${C}_{k}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^kC_k^k（x-k）^k]-x[${C}_{k}^{0}$（x-1）^k+${C}_{k}^{1}$（x-2）^k+…+（-1）^k-1C_k^k-1（x-k）^k+（-1）^kC${\;}_{k}^{k}$（x-k-1）^k]
+（k+1）[（x-1）^k-${C}_{k}^{1}$（x-2）^k…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k-1}$（x-k）^k+（-1）^k（x-k-1）^k]
=xk!-xk!+（k+1）k!
=（k+1）!．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．

點(diǎn)評 本題考查了組合數(shù)公式的性質(zhì)，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于難題．