Question

16．已知z∈C，$\overline{z}$表示z的共軛復(fù)數(shù)，若z•$\overline{z}$+i•z=$\frac{10}{3+i}$，求復(fù)數(shù)z．

Answer 1

分析 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用兩個復(fù)數(shù)的乘法法則和兩個復(fù)數(shù)相等的條件建立方程組，用待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)．

解答 解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}$=a-bi，
z•$\overline{z}$+i•z=（a+bi）（a-bi）+i（a+bi）
=a²+b²+ai-b=（a²+b²-b）+ai．
又∵z•$\overline{z}$+i•z=$\frac{10}{3+i}$，
∴（a²+b²-b）+ai=$\frac{10}{3+i}$=3-i．
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}-b=3}\\{a=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴z=-1-i或z=-1+2i．

點評 本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，共軛復(fù)數(shù)的概念，兩個復(fù)數(shù)相等的條件．