Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足$\frac{cosB}{cosC}$+$\frac{c}$=$\frac{2a}{c}$．
（1）求角C的大��；
（2）若邊長(zhǎng)c=$\sqrt{3}$，求a+2b的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式求得cosC的值，可得角C的值．
（2）利用正弦定理、三角恒等變換化簡(jiǎn)a+2b為=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，由此利用正弦函數(shù)的值域，求得它的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足$\frac{cosB}{cosC}$+$\frac{c}$=$\frac{2a}{c}$，
∴$\frac{cosB}{cosC}$+$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{2sinA}{sinC}$，
即 $\frac{sinBcosC+cosBsinC}{sinCcosC}$=$\frac{2sinA}{sinC}$，
∴sin（B+C）=2sinAcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若邊長(zhǎng)c=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
可得a+2b=2sinA+4sinB=2sinA+4sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2sinA+4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=4sinA+2$\sqrt{3}$cosA
=2$\sqrt{7}$（$\frac{2}{\sqrt{7}}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$cosA）=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
故當(dāng)A=arcsin$\frac{2}{\sqrt{7}}$時(shí)，a=2b取得最大值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、三角恒等變換，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．