Question

設 x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并確定其極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，從而得：

1=- 2b 3a -2=- a 3

，解出即可求出函數(shù)的表達式；
（2）由（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，解不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意有-1和2是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根
∴

1=- 2b 3a -2=- a 3

，解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．（經(jīng)檢驗，適合）                   
（2）由（1）得：f′（x）=18x²-18x-36，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間：（-∞，-1），（2，+∞）；減區(qū)間：（-1，2）
∴當x=-1時，f（x）取得極大值21，當x=2時，f（x）取得極小值-60．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，求函數(shù)的表達式，是一道中檔題．