已知函數(shù)
(1)求曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程;
(2)若g(x)=f(x)一有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).其極小值為M,試比較2M與一3的大小,并說明理由;
(3)設(shè)q>p>2,求證:當(dāng)x∈(p,q)時(shí),.
(1);(2)
;(3)證明過程詳見解析.
解析試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等數(shù)學(xué)知識(shí),考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問,先對(duì)求導(dǎo),將
代入到
中得到切線的斜率,將
代入到
中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),最后利用點(diǎn)斜式,直接寫出切線方程;第二問,對(duì)
求導(dǎo),由于
有2個(gè)不同的極值點(diǎn),所以
有2個(gè)不同的根,即
在
有兩個(gè)不同的根,所以
且
,可以解出a的取值范圍,所以根據(jù)
的單調(diào)性判斷出
為極小值,通過函數(shù)的單調(diào)性求最值,從而比較大小;第三問,用分析法證明分析出只須證
,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明,同理再證明
,最后利用不等式的傳遞性得到所證不等式.
試題解析:(1)易知,∴
∴所求的切線方程為,即
4分
(2)易知,
∵有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
∴在
有兩個(gè)不同的根
則且
解得
6分
在
遞增,
遞減,
遞增
∴的極小值
又∵
∴
則,∴
在
遞減
∴,故
9分
(3)先證明:當(dāng)時(shí),
即證:
只需證:
事實(shí)上,設(shè)
易得,∴
在
內(nèi)遞增
∴ 即原式成立 12分
同理可以證明當(dāng)時(shí),
綜上當(dāng)時(shí),
. 14分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值;3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)
處的切線與直線
平行,求實(shí)數(shù)
的值;
(2)若函數(shù)在
處取得極小值,且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè).
(1)當(dāng)取到極值,求
的值;
(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí),
在區(qū)間
上有單調(diào)遞增的區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線
的切線,證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
.
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已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),討論
的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)處取得極值2
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí),函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增?
(3)若為
圖象上任意一點(diǎn),直線與
的圖象相切于點(diǎn)P,求直線的斜率
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
、
為常數(shù)),在
時(shí)取得極值.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的最小值;
(3)當(dāng)時(shí),試比較
與
的大小并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某一運(yùn)動(dòng)物體,在x(s)時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離(單位:m)是f(x)=x3+x2+2x.
(1)求在第1s內(nèi)的平均速度;
(2)求在1s末的瞬時(shí)速度;
(3)經(jīng)過多少時(shí)間該物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到14m/s?
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