Question

16．正方形ABCD中，M為AD中點，在線段AB上任取一點P，在線段DC上任取一點Q，則么∠PMQ為銳角的概率為（　　）

• A． $\frac{3-2ln2}{4}$
• B． $\frac{1+2ln2}{4}$
• C． $\frac{3π}{16}$
• D． $\frac{16-3π}{16}$

Answer 1

分析 利用兩角和的正切公式，利用線性規(guī)劃，以及幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論

解答 解：設(shè)正方形的邊長為2，AP=x，DQ=y，
則0≤x≤，2，0≤y≤2，平面區(qū)域{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}對應(yīng)的區(qū)域面積S=4．
則tan∠QMD=$\frac{DQ}{DM}$=y，tan∠AMP=$\frac{AP}{AM}$=x，
則tan（∠QMD+∠AMP）=$\frac{tan∠QMD+tan∠AMP}{1-tan∠QMDtan∠AMP}$=$\frac{x+y}{1-xy}$，
若∠PMQ為銳角，則等價為∠QMD+∠AMP是鈍角，
即tan（∠QMD+∠AMP）=$\frac{x+y}{1-xy}$＜0，
即1-xy＜0，即y＞$\frac{1}{x}$，
作出對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
當(dāng)y=2時，由y=$\frac{1}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，滿足y＞$\frac{1}{x}$的部分如圖陰影部分，其面積為：${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}（2-\frac{1}{x}）dx$=（2x-lnx）|${\;}_{\frac{1}{2}}^{2}$=3-2ln2，
由幾何概型公式得到∠PMQ為銳角的概率為$\frac{3-ln2}{4}$；

故選：A．

點評 本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件將∠PMQ為銳角進行轉(zhuǎn)化，利用積分求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，涉及的知識點較多．