Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且右準(zhǔn)線方程為x=5．
（1）求橢圓方程；
（2）過橢圓右焦點F作斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P為橢圓上一動點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且右準(zhǔn)線方程為x=5，構(gòu)造方程組，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程與橢圓C聯(lián)立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦長公式求出AB，P到AB的距離，然后求解三角形的面積，求出最大值即可．

解答 解：（1）$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{a^2}{c}=5∴a=\sqrt{5}，c=1$，從而b²=4所以橢圓方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
（2）右焦點F（1，0），則直線l：y=x-1與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立得：9x²-10x-15=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則弦$|AB|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{16\sqrt{5}}}{9}$，
設(shè)$P（\sqrt{5}cosθ，2sinθ）$到直線$d=\frac{{|\sqrt{5}cosθ-2sinθ-1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{|3cos（θ+φ）-1|}{{\sqrt{2}}}max=\frac{4}{{\sqrt{2}}}$，
∴${S_{△PAB}}max=\frac{1}{2}|AB|{d_{max}}=\frac{1}{2}•\frac{{16\sqrt{5}}}{9}•\frac{4}{{\sqrt{2}}}=\frac{{16\sqrt{10}}}{9}$．

點評 本題考查橢圓的方程和運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，考查點到直線的距離公式和基本不等式的運用，屬于中檔題．