Question

1．已知橢圓$E：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點(diǎn)為F，過F作互相垂直的兩條直線分別與E相交于A，C和B，D四點(diǎn)．
（1）四邊形ABCD能否成為平行四邊形，請(qǐng)說明理由；
（2）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD為菱形，運(yùn)用橢圓的對(duì)稱性可得AC垂直于x軸，則BD垂直于y軸，四邊形ABCD不能成為平行四邊形；
（2）討論當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=k（x-1），（k≠0），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得|AC|，將k換為-$\frac{1}{k}$得|BD|，由四邊形的面積公式，運(yùn)用換元法和基本不等式，可得最小值；考慮直線AC的斜率為0或不存在，分別求得面積，即可得到面積的最小值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD為菱形，
∴AC與BD在點(diǎn)F處互相平分，又F的坐標(biāo)為（1，0）．
∴y₁+y₂=0，由橢圓的對(duì)稱性知AC垂直于x軸，則BD垂直于y軸，
顯然這時(shí)ABCD不是平行四邊形．
∴四邊形ABCD不可能成為平行四邊形．
（2）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=k（x-1），（k≠0）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y得，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
∴|AC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$得，$|{BD}|=\frac{{2\sqrt{2}（{k^2}+1）}}{{{k^2}+2}}$，
則S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（2{k^2}+1）（{k^2}+2）}}$．
令k²+1=t，則S=$\frac{4{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}$=$\frac{4{t}^{2}}{2{t}^{2}+t-1}$
=$\frac{4}{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$=$\frac{4}{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$≥$\frac{16}{9}$．
當(dāng)$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{2}$，即t=2，k=±1時(shí)，面積S取得最小值$\frac{16}{9}$，
當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，|AC|=$\sqrt{2}$，|BD|=2$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AC|?|BD|=2．
當(dāng)直線AC的斜率為零時(shí)，|AC|=2$\sqrt{2}$，|BD|=$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AC|?|BD|=2．
∵2＞$\frac{16}{9}$，∴四邊形ABCD面積的最小值為$\frac{16}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及基本不等式，考查分類討論的思想方法和推理、運(yùn)算能力，屬于中檔題．