Question

9．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（t，8）到焦點(diǎn)F的距離是$\frac{5}{4}t$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在一個(gè)定圓與以AB為直徑的圓內(nèi)切，若存在，求該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，結(jié)合M在拋物線上，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-8my-16=0，由拋物線的對(duì)稱性可知，若定圓存在，則其圓心必在x軸上，設(shè)圓的方程為（x-a）²+y²=r²，得到（4m²+2-a）²+16m²=（4m²+4-r）²，建立方程組，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由拋物線的定義得|MF|=t+$\frac{p}{2}$，
∵M(jìn)（t，8）到焦點(diǎn)F的距離是$\frac{5}{4}t$，
∴t+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}t$，
∴t=2p，
∴M（2p，8），代入拋物線方程得到p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-8my-16=0，∴y₁+y₂=8m，
設(shè)A，B的中點(diǎn)為M，則y_M=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=4m，x_M=4m²+2，
|AB|=x₁+x₂+p=8m²+8，
由拋物線的對(duì)稱性可知，若定圓存在，則其圓心必在x軸上，
設(shè)圓的方程為（x-a）²+y²=r²，
∴（4m²+2-a）²+16m²=（4m²+4-r）²，
∴（32-8a）m²+（2-a）²=（32-8r）m²+（4-r）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{32-8a=32-8r}\\{（2-a）^{2}=（4-r）^{2}}\end{array}\right.$，
∴a=3，r=3．
∴定圓的方程為（x-3）²+y²=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．