Question

12．某校為了解高一學(xué)生周末的“閱讀時(shí)間”，從高一年級(jí)中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人的周末“閱讀時(shí)間”（單位：小時(shí)），按圖[0.0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù)；
（Ⅲ）用樣本頻率代替概率，現(xiàn)從全校高一年級(jí)隨機(jī)抽取20名學(xué)生，其中k名學(xué)生“閱讀時(shí)間”在[1，2.5]小時(shí)內(nèi)的概率為P（X=k），其中k=0，1，2，…20．當(dāng)P（X=k）取最大時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求圖中a的值；
（Ⅱ）確定2≤m＜2.5，由0.50（m-2）=0.5-0.47，得m的值，即可估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù)；
（Ⅲ）從全校高一年級(jí)隨機(jī)抽取20名學(xué)生，“閱讀時(shí)間”在[1，2.5]小時(shí)內(nèi)的學(xué)生有X人，則X～B（20，0.6），恰好有k名學(xué)生的概率為P（X=k）=${C}_{20}^{k}•0．{6}^{k}•0．{4}^{20-k}$，其中k=0，1，2，…20．t=$\frac{P（X=k）}{P（X=k-1）}$=$\frac{3（21-k）}{2k}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分別為0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，
由1-（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30；
（Ⅱ）設(shè)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù)為m小時(shí)，
因?yàn)榍?組頻率和為0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4組頻率和為0.47＜0.5，
所以2≤m＜2.5，
由0.50（m-2）=0.5-0.47，得m=2.06；
（Ⅲ）從全校高一年級(jí)隨機(jī)抽取20名學(xué)生，“閱讀時(shí)間”在[1，2.5]小時(shí)內(nèi)的學(xué)生有X人，則X～B（20，0.6），恰好有k名學(xué)生的概率為P（X=k）=${C}_{20}^{k}•0．{6}^{k}•0．{4}^{20-k}$，其中k=0，1，2，…20．
t=$\frac{P（X=k）}{P（X=k-1）}$=$\frac{3（21-k）}{2k}$，
t＞1，k＜12.6，P（X=k-1）＜P（X-k），
t＜1，k＞12.6，P（X=k-1）＞P（X-k），
∴k=12，P（X=k）取最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查頻率分步直方圖，中位數(shù)，考查概率的計(jì)算，屬于中檔題．