Question

【題目】已知函數(shù)，直線.

（1）若直線與曲線相切，求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值；

（2）若函數(shù)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，又，解得，最后討論切線斜率不存在的情形不滿足題意，（2）先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式為對(duì)一切 恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最小值，即得結(jié)論

試題解析：（1）由，得，

易知時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增，

根據(jù)直線的方程，可得恒過(guò)點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，直線垂直軸，與曲線相交于一點(diǎn)，無(wú)切點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，直線可化為，斜率，

又直線和曲線均過(guò)點(diǎn)，則滿足，

所以，兩邊約去后，

可得，化簡(jiǎn)得，

切點(diǎn)橫坐標(biāo)，綜上所述，由①和②可知，該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；

（2）欲證 ，即證 對(duì)一切 恒成立，設(shè)，則 ，易知時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增，所以 ，原命題得證