Question

9．在△ABC中，角A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，已知A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{11}{14}$．
（Ⅰ） 求cosC的值；
（Ⅱ） 若BC=7，D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）由B的余弦值可以求得其正弦值，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理求出cosC的值即可；
（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，利用正弦定理即可求得AB的長(zhǎng)，再在三角形BCD中運(yùn)用余弦定理即可求得CD的值．

解答 （Ⅰ） 解：因?yàn)閏osB=$\frac{11}{14}$，B∈（0，π），
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{121}{196}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
所以cosC=cos（$\frac{2}{3}π$-B）=cos$\frac{2}{3}π$cosB+sin$\frac{2}{3}π$sinB=-$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{14}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{7}$．
（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）可得sinC=$\sqrt{1-co{{s}^{2}C}^{\;}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{49}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$，即$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$，解得AB=8．
在△BCD中，BD=4，由余弦定理得CD²=4²+7²-2×4×7×$\frac{11}{14}$=21，
所以CD=$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．