已知△ABC中，BC邊上的中線AO長為2，若動點P滿足
BP
=
1
2
cos2θ 
BC
+sin2θ 
BA
（θ∈R），則（
PB
+
PC
）•
PA
的最小值是
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：由題意可得點P在AO上，
PB
+
PC
=2
PO
，故有（
PB
+
PC
）•
PA
=2
PO
•
PA
=-2|
PO
|•|
PA
|．根據(jù)|
PO
|+|
PA
|=|AO|=2，利用基本不等式可得|
PO
|•|
PA
|的最大值，可得要求式子的最小值．
解答： 解：由題意可得
BC
=2
BO
，∵點P滿足
BP
=
1
2
cos2θ 
BC
+sin2θ 
BA
（θ∈R），
∴
BP
= cos2θ 
BO
+sin2θ 
BA
．
又sin2θ+cos2θ=1，所以P、A、O三點共線，即點P在AO上．
∵
PB
+
PC
=2
PO
，∴（
PB
+
PC
）•
PA
=2
PO
•
PA
=-2|
PO
|•|
PA
|．
∴|
PO
|+|
PA
|=|AO|=2，利用基本不等式可得|
PO
|•|
PA
|≤(
|
PO
|+|
PA
|
2
)2=1，
∴-2|
PO
|•|
PA
|≥-2，當且僅當|PO|=|PA|時，等號成立，
故（
PB
+
PC
）•
PA
的最小值為-2，
故答案為：-2．
點評：本題考查向量的數(shù)量積的運算和基本不等式的應用，由題意得出P、M、C三點共線是解決問題的關鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
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個公共點．

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．

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．

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．

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m
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+
y2
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．

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1
4
)等于（　�。�
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