Question

如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．若DB=BE=EA，則過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：立體幾何

分析：如圖所示．連接BC，EF．由于DC是△ABC的外接圓的切線，可得∠DCB=∠EAF．已知BC•AE=DC•AF，可得

BC

AF

=

DC

AE

．進(jìn)而得到△BCD≌△FAE．于是∠CBD=∠AFE．由于E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．可得∠AFE=∠CBE．
于是∠CBD=∠CBE．進(jìn)而得到∠CBE=90°．AC是△ABC的外接圓的直徑，CE是E，F(xiàn)，C四點(diǎn)所在圓的直徑．
不妨設(shè)DB=1．則BE=EA=DB=1．利用切割線定理可得：DC²=DB•DA．在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．可得CE=DC．
在Rt△CBE中，CB²=CE²-BE²．在Rt△ABC中，AC²=BC²+AB²．可得：過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值=

π( CE 2 )2

π( AC 2 )2

=

CE2

AC2

即可得出．

解答： 解：如圖所示．
連接BC，EF．∵DC是△ABC的外接圓的切線，∴∠DCB=∠EAF．
∵BC•AE=DC•AF，∴

BC

AF

=

DC

AE

．
∴△BCD≌△FAE．
∴∠CBD=∠AFE．
∵E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．
∴∠AFE=∠CBE．
∴∠CBD=∠CBE．
又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°．
∴AC是△ABC的外接圓的直徑，CE是E，F(xiàn)，C四點(diǎn)所在圓的直徑．
不妨設(shè)DB=1．則BE=EA=DB=1．
由切割線定理可得：DC²=DB•DA=1×3，DC=

3

．
在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．∴CE=DC=

3

．
在Rt△CBE中，CB²=CE²-BE²=(

3

)2-12=2．
在Rt△ABC中，AC²=BC²+AB²=2+2²=6．
∴過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值=

π( CE 2 )2

π( AC 2 )2

=

CE2

AC2

=

3

6

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、切割線定理、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓的面積之比等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．