Question

5．球O與銳二面角α-l-β的兩半平面相切，兩切點(diǎn)間的距離為$\sqrt{3}$，O點(diǎn)到交線l的距離為2，則球O的表面積為（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 4π
• C． 12π
• D． 36π

Answer 1

分析 設(shè)球O與平面α，β分別切于點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)O作OR⊥l于低能R，連接PR，QR，PQ，設(shè)PQ與OR相交于點(diǎn)S，其抽象圖如下圖所示，則有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四點(diǎn)共圓，此圓的直徑為2，利用三角函數(shù)、平面幾何知識求解．

解答 解：設(shè)球O與平面α，β分別切于點(diǎn)P，Q，
過點(diǎn)O作OR⊥l于低能R，連接PR，QR，PQ，設(shè)PQ與OR相交于點(diǎn)S，
其抽象圖如下圖所示，則有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四點(diǎn)共圓，此圓的直徑為2，
由正弦定理得$\frac{PQ}{sin∠PRQ}=2$，∴$sin∠PRQ=\frac{PQ}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又二面角α-l-β為銳二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半徑為1，
球O的表面積為S=4πR²=4π，故選B．

點(diǎn)評 本題考查了球的性質(zhì)，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．