Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x-1，a＞0．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求a的取值范圍；
（3）若存在x₀，使得x₀既是函數(shù)f（x）的零點，又是函數(shù)f（x）的極值點，請寫出此時a的值．（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，解關(guān)于a的不等式即可；
（3）由（2）x=-a是f（x）的零點，代入f（x）=0，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=x³+2x²-4x-1，
f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，$\frac{2}{3}$）遞減，在（$\frac{2}{3}$，+∞）遞增；
（2）f′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{3}$或x＜-a，令f′（x）＜0，解得：-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-a）遞增，在（-a，$\frac{a}{3}$）遞減，在（$\frac{a}{3}$，+∞）遞增，
①$\frac{a}{3}$≤1即a≤3時，f（x）在[1，+∞）遞增，
若關(guān)于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，
只需f（x）_min=f（1）=a（1-a）≤0，解得：a≥1，
故1≤a≤3；
②$\frac{a}{3}$＞1，即a＞3時，
f（x）在[1，$\frac{a}{3}$）遞減，在（$\frac{a}{3}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{5}{27}$a³-1＜0恒成立，
故a＞3，
綜上，a≥1；
（3）由（2）得：x=-a是f（x）的零點，
故f（-a）=a³-1=0，解得：a=1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．