Question

3．已知圓C：x²+y²-8x-4y+4=0及直線l：（2m+1）x+（m-1）y=7m-1（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C一定相交；
（2）求直線l與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）化直線系方程為m（2x+y-7）+x-y+1=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$求得直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程驗(yàn)證得答案；
（2）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，畫圖可得當(dāng)直線與CM垂直時(shí)，直線l與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短，由垂徑定理求得弦長(zhǎng)，再由直線方程的點(diǎn)斜式求得直線方程．

解答 證明：（1）化直線l：（2m+1）x+（m-1）y=7m-1為m（2x+y-7）+x-y+1=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直線l過定點(diǎn)（2，3），
∵2²+3²-8×2-4×3+4=-11＜0，
∴點(diǎn)（2，3）在圓C內(nèi)部，則不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C一定相交；
解：（2）化圓C：x²+y²-8x-4y+4=0為（x-4）²+（y-2）²=16，
圓心坐標(biāo)C（4，2），圓的半徑r=4，
如圖，直線l過定點(diǎn)M（2，3），
當(dāng)直線l垂直于CM時(shí)，直線l被圓解得的弦長(zhǎng)最短，
∵|CM|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{5}$，r=4，
∴弦|AB|=$2\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{11}$．
${k}_{CM}=\frac{3-2}{2-4}=-\frac{1}{2}$，
∴所求直線方程為y-3=2（x-2），即2x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了直線系方程的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用垂徑定理求弦長(zhǎng)，是中檔題．