Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a≠0）
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）沒有奇偶性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₂＞x₁＞0，再將f（x₁）-f（x₂）作差后化積，證明即可；
（2）令x取特殊值驗證，舉反例來否定f（x）的奇偶性．

解答： 解：（1）證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，
∵f（x₂）-f（x₁）=

1

a

-

1

x2

-（

1

a

-

1

x1

）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．  
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．  
（2）證明：∵f(-1)=

1

a

+1， f(1)=

1

a

-1，
∵f（-1）≠f（1）∴函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)．
又∵f（-1）≠-f（1）∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中（1）的關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶的定義．