Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，y）到焦點F的距離為$\frac{17}{16}$．
（1）求p的值；
（2）若圓（x-a）²+y²=1與拋物線C有四個不同的公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出；
（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（1-8a）^{2}-16（4{a}^{2}-4）＞0}\\{-\frac{1-8a}{4}＞0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，y）到焦點F的距離為$\frac{17}{16}$．
則1+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{16}$，
解得p=$\frac{1}{8}$，
（2）由（1）以及已知得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=\frac{1}{4}x}\\{（x-a）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即4x²+（1-8a）x+4a²-4=0有兩個不相等的實數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{△=（1-8a）^{2}-16（4{a}^{2}-4）＞0}\\{-\frac{1-8a}{4}＞0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜$\frac{65}{16}$，
則實數(shù)a的取值范圍為（1，$\frac{65}{16}$）

點評 本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，考查計算能力，正確合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．