Question

20．已知向量是單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，則|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的最小值是$\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意，建立坐標系，設$\overrightarrow{a}$=（1，0），則$\overrightarrow$=（0，1），設$\overrightarrow{c}$=（x，y），由|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，得到，xy滿足的方程，然后求|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的最小值．

解答 解：由題意，建立如圖坐標系，

設$\overrightarrow{a}$=（1，0），則$\overrightarrow$=（0，1），設$\overrightarrow{c}$=（x，y），由|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，得到$\overrightarrow{c}$的終點在線段AB：y=2-2x（0≤x≤1）上，
所以$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$=（x+2，y），|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|²=（x+2）²+y²=5x²-4x+8=5（x-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{36}{5}$，
所以當x=$\frac{2}{5}$時|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的最小值為$\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
故答案為：$\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算，關鍵是將所求轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．