Question

8．設(shè)橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，2），右焦點(diǎn)F（2$\sqrt{2}$，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)（0，-3）的直線l，使直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N滿足關(guān)于直線y=-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x+2對稱？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$，并由題意得到b，c的值，結(jié)合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（2）假設(shè)存在直線l滿足題目要求，可設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），設(shè)出M、N的坐標(biāo)，由MN與直線$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$垂直求得直線l的斜率，得到直線l的方程，
將M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程后利用點(diǎn)差法得到$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-3•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，代入斜率后得到關(guān)于M，N中點(diǎn)的一個(gè)方程，再由M、N的中點(diǎn)在l上得另一方程，聯(lián)立求得M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證所求中點(diǎn)坐標(biāo)在直線y=-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x+2上說明假設(shè)成立．

解答 解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$，$c=2\sqrt{2}$，b=2，
∴a²=b²+c²=12，從而可得橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）假設(shè)存在直線l滿足題目要求，可設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵M(jìn)N與直線$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$垂直，則$-\frac{\sqrt{6}}{2}k=-1$，k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線l方程為：$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x-3$，
將M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入橢圓方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，并作差，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-3•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（*），
$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
設(shè)MN中點(diǎn)P（x_p，y_p），則${x_p}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_p}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
代入*得：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=-3\frac{x_p}{y_p}$，即${x_p}=-\sqrt{6}{y_p}$，
∵P（x_p，y_p）在MN上，∴${y_p}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{x_p}-3$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x_p}=-\sqrt{6}{y_p}}\\{{y_p}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{x_p}-3}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_p}=\sqrt{6}}\\{{y_p}=-1}\end{array}}\right.$．
經(jīng)檢驗(yàn)$P（{\sqrt{6}，-1}）$滿足直線方程$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$，MN與直線$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$垂直，且線段MN中點(diǎn)P在直線上，
∴存在滿足條件的直線，直線l方程為$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x-3$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”在解決中點(diǎn)弦問題中的應(yīng)用，屬中高檔題．