Question

已知D是△ABC的邊AB的中點，且AB=4，BC+CD=4，則△BCD面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：設(shè)BC=x，則CD=4-x，記∠BDC=α，由余弦定理可得cosα=

5-2x

4-x

，進(jìn)而可得sinα=

-3x2+12x-9

4-x

，代入面積公式可得S=2

-3x2+12x-9

，由二次函數(shù)的最值可得．

解答： 解：由題意可得AD=BD=2，設(shè)BC=x，則CD=4-x，記∠BDC=α
在△BCD中，由余弦定理可得x²=4+（4-x）²-4（4-x）cosα，
變形可得cosα=

5-2x

4-x

，∴sinα=

1-cos2α

=

-3x2+12x-9

4-x

，
∴△BCD面積S=2×

1

2

×2×（4-x）sinα=2

-3x2+12x-9

，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=-

12

2×(-3)

=2時，上式取到最大值2

3

故答案為：2

3

點評：本題考查三角形的面積公式，涉及余弦定理和二次函數(shù)的最值，屬中檔題．