Question

已知函數(shù)f（x）=（2x²+m）e^x（m∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若m=-6，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設m∈Z，函數(shù)g（x）=f（x）-（2x²+x）e^x-1-m，若關于x的不等式g（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把m=-6代入函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）先求出g（x）的表達式，將問題轉(zhuǎn)化為求g（x）在（0，+∞）遞減，解關于g′（x）的不等式，從而求出m的最大值．

解答： 解：（1）m=-6時，f（x）=（2x²-6）e^x，
f′（x）=2e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3）遞增，在（-3，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（-3）=

12

e3

，f（x）_極小值=f（1）=-4e；
（2）∵g（x）=（2x²+m）e^x-（2x²+x）e^x-1-m
=（m-x）e^x-1-m，
而g（0）=0，若要g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
只需g（x）在（0，+∞）遞減即可，
∵g′（x）=e^x（m-x-1），令g′（x）＜0，解得：m＜x+1，
∴m≤1，m∈Z，
∴m的最大值是1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查了參數(shù)的范圍，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．