Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（-2，-1）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$），求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式，求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ的余弦值，可得求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ．
（2）根據(jù)兩個向量垂直的性質(zhì)，求得實數(shù)λ的值．

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（-1，2），得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（3，4），
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-3+8}{\sqrt{5}•5}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（2）由題意根據(jù)若$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+λ•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=10+λ•（-2-3）=0，∴λ=2．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．