Question

（本小題滿分12分）如圖，矩形所在平面與平面垂直，，且，為上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；

(Ⅱ)若，在線段上是否存在點(diǎn)E，使得二面角的大小為. 若存在，確定點(diǎn)E的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)已知條件當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，              

從而為等腰直角三角形，∴，同理可得，∴，

于是，再結(jié)合又平面平面，得到平面得到證明。 (2) 點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)處

【解析】

試題分析：方法一：不妨設(shè)，則.

(Ⅰ)證明：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，              

從而為等腰直角三角形，∴，

同理可得，∴，

于是，                        

又平面平面，

平面平面，

平面，  

∴ ，又，∴.………………6分

(Ⅱ)若線段上存在點(diǎn),使二面角為。

過(guò)點(diǎn)作于,連接,由⑴ 所以

為二面角的平面角，

…………………………..8分

設(shè), 則中，在中由，得,則,在中 ,所以,所以線段上存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角為。                                       .12分

方法二：∵平面平面，平面平面，平面，

以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

(Ⅰ)不妨設(shè)，AB=1 

則，

從而，…………………………4分

于是，

所以所以  ………………………………6分

(Ⅱ)設(shè)，則，

.……………………………………8分

易知向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，

則 即，解得，令則，，

從而，……………………………………………10分

依題意，即，

解得（舍去）， 

所以點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)處..………………………………………12分

考點(diǎn)：本試題考查了線線垂直，二面角知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能熟練的運(yùn)用已學(xué)的線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)證明線線垂直，同時(shí)用平面的法向量來(lái)求解二面角的大小。屬于中檔題。